Упр.16.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что функция у = sin x: а) возрастает на отрезке [12; 13]; б) убывает на интервале (8; 10); в) достигает на интервале (7; 12) наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале (-1; 1) ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Функция $$y=\sin x$$ возрастает на каждом промежутке вида $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right]$$ и убывает на каждом промежутке вида $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right]$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.

1. $$\frac{7\pi}{2}<12<13<\frac{9\pi}{2}$$

   Тогда

   $$[12;13]\subset\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]=\left[-\frac{\pi}{2}+4\pi;\,\frac{\pi}{2}+4\pi\right].$$

   На этом промежутке функция $$y=\sin x$$ возрастает, значит, она возрастает и на отрезке $$[12;13]$$.

2. $$\frac{5\pi}{2}<8<10<\frac{7\pi}{2}$$

   Тогда

   $$ (8;10)\subset\left[\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}\right]=\left[\frac{\pi}{2}+2\pi;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi\right].$$

   На этом промежутке функция $$y=\sin x$$ убывает, значит, она убывает и на интервале $$ (8;10).$$

3. $$7<\frac{5\pi}{2}<\frac{7\pi}{2}<12$$

   Следовательно, точки $$\frac{5\pi}{2}$$ и $$\frac{7\pi}{2}$$ принадлежат интервалу $$ (7;12).$$

   Вычислим значения функции:

   $$y\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\frac{5\pi}{2}=\sin\left(\frac{5\pi}{2}-2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

   $$y\left(\frac{7\pi}{2}\right)=\sin\frac{7\pi}{2}=\sin\left(\frac{7\pi}{2}-2\pi\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1.$$

   Значит, на интервале $$ (7;12)$$ функция достигает наибольшего значения $$1$$ и наименьшего значения $$-1$$.

4. $$-\frac{\pi}{2}<-1<1<\frac{\pi}{2}$$

   Следовательно,

   $$(-1;1)\subset\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает, поэтому на интервале $$(-1;1)$$ она не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Ответ

а) возрастает на $$[12;13]$$; б) убывает на $$ (8;10)$$; в) на $$ (7;12)$$ достигает наименьшего значения $$-1$$ и наибольшего значения $$1$$; г) на $$(-1;1)$$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.