Упр.16.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим функцию $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0,5.$$

Это график функции $$y=\sin x,$$ сдвинутый на $$\frac{\pi}{4}$$ вправо и на $$0,5$$ вверх.

1. На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ аргумент $$x-\frac{\pi}{4}$$ пробегает от $$0$$ до $$\frac{\pi}{2}$$, поэтому

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\in[0;1].$$

   Тогда

   $$y\in[0,5;1,5].$$

   Значит, $$y_{\min}=0,5,$$ $$y_{\max}=1,5.$$

2. На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ функция принимает значения от $$-1$$ до $$1$$, но точка максимума не входит в промежуток, поэтому

   $$y_{\min}=-1+0,5=-0,5,$$

   $$y_{\max}$$ не существует.

3. На промежутке $$[0;\pi)$$ имеем:

   $$y(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+0,5=-\frac{\sqrt{2}}{2}+0,5=\frac{1-\sqrt{2}}{2},$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+0,5=1,5,$$

   $$y(\pi)=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)+0,5=\frac{\sqrt{2}}{2}+0,5=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$

   Наименьшее значение достигается при $$x=0,$$ наибольшее — при $$x=\frac{3\pi}{4}.$$

4. На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1,$$ значит

   $$y\in[-0,5;1,5].$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-0,5,$$ $$y_{\max}=1,5.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,5,$$ $$y_{\max}=1,5;$$
б) $$y_{\min}=-0,5,$$ $$y_{\max}$$ не существует;
в) $$y_{\min}=\frac{1-\sqrt{2}}{2},$$ $$y_{\max}=1,5;$$
г) $$y_{\min}=-0,5,$$ $$y_{\max}=1,5.$$