Упр.15.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дано выражение cos 1° + cos 2° + cos 3° +)… + cos n°. а) При каких натуральных значениях n < 360 это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях n < 360 это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Обозначим

$$S_n=\cos 1^\circ+\cos 2^\circ+\cos 3^\circ+\dots+\cos n^\circ.$$

Используем свойства косинуса:

$$\cos(180^\circ-a)=-\cos a,$$

$$\cos(360^\circ-a)=\cos a.$$

Тогда для углов от $1^\circ$ до $179^\circ$ значения косинусов попарно противоположны:

$$\cos 1^\circ+\cos 179^\circ=0,\quad \cos 2^\circ+\cos 178^\circ=0,\quad \dots,\quad \cos 89^\circ+\cos 91^\circ=0.$$

Кроме того,

$$\cos 90^\circ=0,\quad \cos 180^\circ=-1,\quad \cos 360^\circ=1.$$

Теперь рассмотрим случаи.

1) Если $$1\le n\le 178,$$ то в сумме положительных слагаемых больше, чем отрицательных, значит $$S_n>0.$$

2) Если $$180\le n\le 359,$$ то отрицательных слагаемых больше, чем положительных, значит $$S_n<0.$$

3) Если $$n=360k$$ или $$n=360k-181,$$ где $$k\in\mathbb N,$$ то все слагаемые разбиваются на противоположные пары, поэтому $$S_n=0.$$

Ответ

а) при $$1\le n\le 178$$;

б) при $$180\le n\le 359$$;

в) при $$n=360k$$ или $$n=360k-181,\ k\in\mathbb N.$$