Упр.15.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дано выражение sin 1° + sin 2° + sin 3° +)… + sin n°. а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Рассмотрим сумму

$$S_n=\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\sin 3^\circ+\dots+\sin n^\circ.$$

Используем свойство синуса:

$$\sin(360^\circ-k)=-\sin k^\circ.$$

Тогда для каждого числа $$k$$, если среди слагаемых есть пара $$\sin k^\circ$$ и $$\sin(360^\circ-k)$$, они взаимно уничтожаются:

$$\sin k^\circ+\sin(360^\circ-k)=0.$$

Кроме того,

$$\sin 180^\circ=0,\qquad \sin 360^\circ=0.$$

Значит, при $$n=360m-1$$ или $$n=360m$$ все слагаемые можно разбить на пары противоположных чисел, а возможные «средние» члены дают ноль. Поэтому сумма равна нулю.

Если же $$n$$ не имеет вида $$360m-1$$ и не имеет вида $$360m$$, то после сокращения пар остаются только положительные слагаемые, и сумма будет положительной.

Отрицательной эта сумма быть не может, так как все отрицательные значения синуса на промежутке от $$1^\circ$$ до $$n^\circ$$ компенсируются соответствующими положительными.

Ответ

а) $$S_n>0$$ при всех натуральных $$n$$, кроме $$n=360m-1$$ и $$n=360m$$, $$m\in\mathbb N$$;

б) таких натуральных $$n$$ нет;

в) $$S_n=0$$ при $$n=360m-1$$ и $$n=360m$$, $$m\in\mathbb N$$.