Упр.15.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дано выражение cos 1° cos 2° cos 3° •)… • cos n°. а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Рассмотрим произведение

$$S_n=\cos 1^\circ\cdot \cos 2^\circ\cdot \cos 3^\circ\cdot \ldots \cdot \cos n^\circ.$$

Для углов от $$1^\circ$$ до $$89^\circ$$ все косинусы положительны, так как эти углы лежат в первой четверти:

$$\cos k^\circ>0 \quad \text{при } 1\le k\le 89.$$

Значит, при $$n\le 89$$ все множители положительны, и потому

$$S_n>0.$$

Если же $$n\ge 90$$, то среди множителей есть $$\cos 90^\circ$$, а

$$\cos 90^\circ=0.$$

Следовательно, всё произведение равно нулю:

$$S_n=0.$$

Отрицательным это произведение быть не может, так как среди множителей нет отрицательных значений: либо все множители положительны, либо произведение обращается в нуль.

Ответ

а) при $$n\le 89$$;

б) ни при каких натуральных $$n$$;

в) при $$n\ge 90$$.