Упр.15.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дано выражение sin 1° sin 2° sin 3° •)… • sin n°. а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Подробный ответ

Рассмотрим произведение

$$S_n=\sin 1^\circ\cdot \sin 2^\circ\cdot \sin 3^\circ\cdot \ldots \cdot \sin n^\circ.$$

Если $$n<180,$$ то все углы $$1^\circ,2^\circ,\ldots,n^\circ$$ лежат между $$0^\circ$$ и $$180^\circ,$$ а значит, каждый множитель положителен:

$$\sin k^\circ>0 \quad \text{при } 1\le k\le n<180.$$

Следовательно,

$$S_n>0 \quad \text{при } n\le 179.$$

Если же $$n\ge 180,$$ то среди множителей обязательно есть

$$\sin 180^\circ=0,$$

поэтому всё произведение равно нулю:

$$S_n=0 \quad \text{при } n\ge 180.$$

Отрицательным это выражение быть не может, так как при $$n<180$$ все множители положительны, а при $$n\ge 180$$ произведение равно нулю.