Упр.15.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Использовав геометрические соображения, вычислите: а) sin 15° и cos 15°; б) sin 22,5° и cos 22,5°.

Подробный ответ

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $$1$$ и углом при вершине $$150^\circ$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=15^\circ.$$

По теореме косинусов найдём основание:

$$ AC^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos150^\circ =2-2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =2+\sqrt3. $$

Значит,

$$AC=\sqrt{2+\sqrt3}.$$

По теореме синусов:

$$ \frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{AC}{\sin\angle B} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sin15^\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{\sin150^\circ}. $$

Так как $$\sin150^\circ=\frac12$$, получаем:

$$ \sin15^\circ=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt3}} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. $$

Так как угол $$15^\circ$$ лежит в первой четверти, то

$$ \cos15^\circ=\sqrt{1-\sin^2 15^\circ} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. $$

б) Аналогично для угла $$22{,}5^\circ$$: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны $$22{,}5^\circ$$, а угол при вершине равен $$135^\circ$$.

По теореме косинусов:

$$ AC^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos135^\circ =2-2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) =2+\sqrt2, $$

откуда

$$AC=\sqrt{2+\sqrt2}.$$

По теореме синусов:

$$ \frac{1}{\sin22{,}5^\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{\sin135^\circ}. $$

Так как $$\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$, то

$$ \sin22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}. $$

Поскольку $$22{,}5^\circ$$ — угол первой четверти, имеем:

$$ \cos22{,}5^\circ=\sqrt{1-\sin^2 22{,}5^\circ} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}. $$