Упр.15.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть:

$$ (4\sin 30^\circ+\tg 60^\circ)\left(\frac{1}{\cos(-60^\circ)}+\ctg 150^\circ\right) $$
$$ =\left(4\sin \frac{\pi}{6}+\tg \frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{1}{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)}+\ctg \frac{5\pi}{6}\right) $$
$$ =\left(4\cdot \frac12+\sqrt3\right)\left(\frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}}+\frac{\cos \frac{5\pi}{6}}{\sin \frac{5\pi}{6}}\right) $$
$$ =(2+\sqrt3)\left(1:\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right):\frac12\right) =(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1. $$

Преобразуем правую часть:

$$ 2\sin 150^\circ=2\sin \frac{5\pi}{6}=2\cdot \frac12=1. $$

Следовательно, равенство верно.

б) Преобразуем левую часть:

$$ (\ctg 210^\circ+2\cos 120^\circ)(\tg 420^\circ-2\sin 330^\circ) $$
$$ =\left(\ctg \frac{7\pi}{6}+2\cos \frac{2\pi}{3}\right)\left(\tg \frac{7\pi}{3}-2\sin \frac{11\pi}{6}\right) $$
$$ =\left(\ctg\left(\frac{7\pi}{6}-\pi\right)+2\cos \frac{2\pi}{3}\right)\left(\tg\left(\frac{7\pi}{3}-2\pi\right)-2\sin \frac{11\pi}{6}\right) $$
$$ =\left(\ctg \frac{\pi}{6}+2\cdot \left(-\frac12\right)\right)\left(\tg \frac{\pi}{3}-2\cdot \left(-\frac12\right)\right) =(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2. $$

Преобразуем правую часть:

$$ 4\cos^2 315^\circ=4\cos^2 \frac{7\pi}{4} =4\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =4\cdot \frac24=2. $$

Следовательно, равенство верно.