Упр.15.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin21° + sin2 2° + sin2 3° +)… + sin2 90°; 6) cos21° + cos2 2° + cos2 3° +)… + cos2180°.

Используем формулы:

$$\sin(90^\circ-a)=\cos a,\qquad \cos(90^\circ-a)=\sin a.$$

а)

$$S=\sin^2 1^\circ+\sin^2 2^\circ+\sin^2 3^\circ+\dots+\sin^2 90^\circ.$$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$ S=(\sin^2 1^\circ+\sin^2 89^\circ)+(\sin^2 2^\circ+\sin^2 88^\circ)+\dots+\sin^2 45^\circ+\sin^2 46^\circ+\sin^2 90^\circ. $$

Так как $$\sin^2(90^\circ-a)=\cos^2 a,$$ то каждая пара даёт

$$\sin^2 k^\circ+\sin^2(90^\circ-k^\circ)=\sin^2 k^\circ+\cos^2 k^\circ=1.$$

Таких пар $$44,$$ а ещё остаются слагаемые

$$\sin^2 45^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12,\qquad \sin^2 90^\circ=1.$$

Тогда

$$S=44\cdot 1+\frac12+1=45{,}5.$$

б)

$$S=\cos^2 1^\circ+\cos^2 2^\circ+\cos^2 3^\circ+\dots+\cos^2 180^\circ.$$

Сгруппируем симметричные слагаемые:

$$ S=(\cos^2 1^\circ+\cos^2 179^\circ)+(\cos^2 2^\circ+\cos^2 178^\circ)+\dots+\cos^2 90^\circ+\cos^2 180^\circ. $$

Для каждой пары имеем

$$\cos^2 k^\circ+\cos^2(180^\circ-k^\circ)=\cos^2 k^\circ+\cos^2 k^\circ=2\cos^2 k^\circ.$$

Кроме того,

$$\cos^2 90^\circ=0,\qquad \cos^2 180^\circ=1.$$

Поэтому

$$ S=2(\cos^2 1^\circ+\cos^2 2^\circ+\dots+\cos^2 89^\circ)+1. $$

Снова сгруппируем:

$$ \cos^2 1^\circ+\cos^2 89^\circ=1,\quad \cos^2 2^\circ+\cos^2 88^\circ=1,\quad \dots,\quad \cos^2 44^\circ+\cos^2 46^\circ=1, $$

а

$$\cos^2 45^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12.$$

Тогда

$$ S=2\left(44+\frac12\right)+1=90. $$

Ответ

а) $$45{,}5$$; б) $$90$$.