Упр.15.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) tg 1° tg 2° tg 3° •)… • tg 89°; б) ctg 2° ctg 4° ctg 6° •)… • ctg 178°.

Подробный ответ

а) Рассмотрим произведение

$$S=\tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot \tg 3^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 89^\circ.$$

Используем формулу

$$\tg(90^\circ-a)=\ctg a=\frac{\sin(90^\circ-a)}{\cos(90^\circ-a)}=\frac{\cos a}{\sin a}.$$

Тогда

$$ S=\frac{\sin 1^\circ \sin 2^\circ \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 89^\circ}{\cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ}. $$

Заменим в числителе синусы через косинусы:

$$ \sin 1^\circ=\cos 89^\circ,\ \sin 2^\circ=\cos 88^\circ,\ \ldots,\ \sin 89^\circ=\cos 1^\circ. $$

Тогда

$$ S=\frac{\cos 89^\circ \cdot \cos 88^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 1^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ}=1. $$

б) Рассмотрим произведение

$$S=\ctg 2^\circ \cdot \ctg 4^\circ \cdot \ctg 6^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 178^\circ.$$

В этом произведении есть множитель

$$\ctg 90^\circ,$$

а он не определён, так как

$$\ctg 90^\circ=\frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ}=0.$$

Следовательно, произведение содержит нулевой множитель и равно нулю:

$$S=0.$$