Упр.15.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника.

Пусть $BH=5$ см — высота треугольника, а $H$ — основание высоты на стороне $AC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $CBH$.

В треугольнике $ABH$:

$$\ctg 45^\circ=\frac{AH}{BH}$$

$$AH=BH\cdot \ctg 45^\circ=5\cdot 1=5\text{ см}.$$

В треугольнике $CBH$:

$$\ctg 60^\circ=\frac{CH}{BH}$$

$$CH=BH\cdot \ctg 60^\circ=5\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Тогда основание треугольника:

$$AC=AH+CH=5+\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{15+5\sqrt{3}}{3}=\frac{5(3+\sqrt{3})}{3}\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot \frac{5(3+\sqrt{3})}{3}\cdot 5=\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}\text{ см}^2.$$

Ответ

$$\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}\text{ см}^2$$