Упр.15.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: B треугольнике ABC известно, что AB = 4 корня из 2 см, угол A = 45°, угол C = 30°. Найдите ВС, AC и площадь треугольника ABC.

Обозначим высоту из вершины B на сторону AC через BH.

Найдём третий угол треугольника:

$$\angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 45^\circ}=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$

Тогда

$$BC=AB\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=4\sqrt2\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=8\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH:

$$BH=BC\cdot \sin 30^\circ=8\cdot \frac12=4\text{ см},$$

$$CH=BC\cdot \cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике ABH:

$$AH=AB\cdot \cos 45^\circ=4\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=4\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=AH+HC=4+4\sqrt3=4(1+\sqrt3)\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 4(1+\sqrt3)\cdot 4=8(1+\sqrt3)\text{ см}^2.$$

Ответ

$$BC=8\text{ см},\quad AC=4(1+\sqrt3)\text{ см},\quad S_{ABC}=8(1+\sqrt3)\text{ см}^2.$$