Упр.15.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Подробный ответ

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а угол между ними равен $$\alpha$$.

Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}.$$

По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin\alpha,$$
$$S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC\cdot \sin\alpha,$$
$$S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin\alpha,$$
$$S_{DOA}=\frac12 DO\cdot AO\cdot \sin\alpha.$$

Складываем:

$$ \begin{aligned} S_{ABCD} &=\frac12 \sin\alpha\,(AO\cdot BO+BO\cdot OC+CO\cdot OD+DO\cdot AO) \\ &=\frac12 \sin\alpha\,[BO(AO+OC)+OD(CO+AO)]. \end{aligned} $$

Так как $$AO+OC=AC$$ и $$BO+OD=BD$$, получаем:

$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\cdot \sin\alpha.$$

Что и требовалось доказать.