Упр.15.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: B прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, площадь и радиус описанной окружности, если: а) с = 12, а = 60°; в) с = 4, а = 30°; б) с = 6, а = 45°; г) с = 60, а = 60°.
В прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна $$c$$, а острый угол равен $$\alpha$$, то катеты находятся по формулам:
$$a=c\sin\alpha,\qquad b=c\cos\alpha.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12 ab.$$
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
$$R=\frac{c}{2}.$$
$$c=12,\ \alpha=60^\circ$$
$$a=12\sin60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,$$
$$b=12\cos60^\circ=12\cdot\frac12=6,$$
$$S=\frac12\cdot 6\sqrt3\cdot 6=18\sqrt3,$$
$$R=\frac{12}{2}=6.$$
$$c=6,\ \alpha=45^\circ$$
$$a=6\sin45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2,$$
$$b=6\cos45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2,$$
$$S=\frac12\cdot 3\sqrt2\cdot 3\sqrt2=9,$$
$$R=\frac{6}{2}=3.$$
$$c=4,\ \alpha=30^\circ$$
$$a=4\sin30^\circ=4\cdot\frac12=2,$$
$$b=4\cos30^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3,$$
$$S=\frac12\cdot 2\cdot 2\sqrt3=2\sqrt3,$$
$$R=\frac{4}{2}=2.$$
$$c=60,\ \alpha=60^\circ$$
$$a=60\sin60^\circ=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3,$$
$$b=60\cos60^\circ=60\cdot\frac12=30,$$
$$S=\frac12\cdot 30\sqrt3\cdot 30=450\sqrt3,$$
$$R=\frac{60}{2}=30.$$
Ответ
а) $$a=6\sqrt3,\ b=6,\ S=18\sqrt3,\ R=6$$;
б) $$a=3\sqrt2,\ b=3\sqrt2,\ S=9,\ R=3$$;
в) $$a=2,\ b=2\sqrt3,\ S=2\sqrt3,\ R=2$$;
г) $$a=30\sqrt3,\ b=30,\ S=450\sqrt3,\ R=30$$.
