Упр.14.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции s = f(t), если: а) f(t) = 1 -(cos2t — sin2t); б) f(t) = 1 — sin t cos t tg t; в) f(t) = cos2t tg2t + 5 cos2t — 1; г) f(t) = sin t + 3 sin2t + 3 cos2t.

1. а)

   $$f(t)=1-(\cos^2 t-\sin^2 t)=1-\cos^2 t+\sin^2 t.$$
   Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ то
   $$f(t)=2\sin^2 t.$$
   Поскольку $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ получаем
   $$0\le f(t)\le 2.$$

   Минимум: $$0$$, максимум: $$2$$.

2. б)

   $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \tg t.$$
   Так как $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t},$$ то
   $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$
   Следовательно,
   $$0\le \cos^2 t\le 1.$$

   Минимум: $$0$$, максимум: $$1$$.

3. в)

   $$f(t)=\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1.$$
   Подставим $$\tg^2 t=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}:$$
   $$f(t)=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+5\cos^2 t-1=\sin^2 t+5\cos^2 t-1.$$
   Так как $$\sin^2 t=1-\cos^2 t,$$ то
   $$f(t)=1-\cos^2 t+5\cos^2 t-1=4\cos^2 t.$$
   Значит,
   $$0\le 4\cos^2 t\le 4.$$

   Минимум: $$0$$, максимум: $$4$$.

4. г)

   $$f(t)=\sin t+3\sin^2 t+3\cos^2 t.$$
   Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1:$$
   $$f(t)=\sin t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+3.$$
   Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то
   $$2\le f(t)\le 4.$$

   Минимум: $$2$$, максимум: $$4$$.

Ответ

а) $$0; 2$$; б) $$0; 1$$; в) $$0; 4$$; г) $$2; 4$$.