Упр.14.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = sin2 x + 2 sin x — 5; б) y= sin2 x — 3 cos2 x + 2 cos x; в) у = 4 cos2 x — 4 cos x — 2; г) у = cos2 x — 3 sin2 x — 4 sin x.
Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и сводим каждую функцию к виду $$y=t^2+at+b$$, где $$t=\sin x$$ или $$t=\cos x$$, а затем учитываем, что $$t\in[-1;1]$$.
$$y=\sin^2 x+2\sin x-5$$
Положим $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=t^2+2t-5=(t+1)^2-6.$$
Так как $$t+1\in[0;2]$$, то $$ (t+1)^2\in[0;4]$$. Значит,
$$y\in[-6;-2].$$
Наименьшее значение равно $$-6$$, наибольшее — $$-2$$.
$$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x$$
Положим $$t=\cos x$$, тогда $$\sin^2 x=1-\cos^2 x=1-t^2$$ и
$$y=1-t^2-3t^2+2t=1-4t^2+2t.$$
Приведём к квадрату:
$$y=-4\left(t-\frac14\right)^2+\frac54.$$
Максимум достигается при $$t=\frac14$$ и равен $$\frac54$$.
Минимум найдём на концах отрезка $$[-1;1]$$:
$$y(-1)=1-4-2=-5,\qquad y(1)=1-4+2=-1.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-5$$, наибольшее — $$\frac54$$.
$$y=4\cos^2 x-4\cos x-2$$
Положим $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=4t^2-4t-2=4\left(t-\frac12\right)^2-3.$$
Минимум равен $$-3$$ и достигается при $$t=\frac12$$.
Максимум на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:
$$y(-1)=4+4-2=6,\qquad y(1)=4-4-2=-2.$$
Значит, наименьшее значение равно $$-3$$, наибольшее — $$6$$.
$$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x$$
Положим $$t=\sin x$$, тогда $$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-t^2$$ и
$$y=1-t^2-3t^2-4t=1-4t^2-4t.$$
Приведём к квадрату:
$$y=-4\left(t+\frac12\right)^2+2.$$
Максимум равен $$2$$ и достигается при $$t=-\frac12$$.
Минимум на отрезке $$[-1;1]$$ найдём на концах:
$$y(-1)=1-4+4=1,\qquad y(1)=1-4-4=-7.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-7$$, наибольшее — $$2$$.
Ответ
а) $$\min y=-6,\ \max y=-2$$;
б) $$\min y=-5,\ \max y=\frac54$$;
в) $$\min y=-3,\ \max y=6$$;
г) $$\min y=-7,\ \max y=2$$.
