Упр.14.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=t^2+2t-5.$$
Это парабола, ветви направлены вверх. Абсцисса вершины:
$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1.$$
Так как $$t_0\in[-1;1],$$ то наименьшее значение достигается в вершине:
$$y_{\min}=(-1)^2+2\cdot(-1)-5=-6.$$
Наибольшее значение на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:
$$y(-1)=-6,\qquad y(1)=1+2-5=-2.$$
Значит, $$y_{\max}=-2.$$
б) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x=1-\cos^2 x-3\cos^2 x+2\cos x=1-4t^2+2t.$$
Это парабола, ветви направлены вниз. Абсцисса вершины:
$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-4)}=\frac14.$$
Так как $$t_0\in[-1;1],$$ то
$$y_{\max}=1-4\left(\frac14\right)^2+2\cdot\frac14=1-\frac14+\frac12=\frac54.$$
Минимум на концах отрезка:
$$y(-1)=1-4\cdot 1-2=-5,\qquad y(1)=1-4+2=-1.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-5.$$
в) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=4\cos^2 x-4\cos x-2=4t^2-4t-2.$$
Парабола направлена вверх. Абсцисса вершины:
$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 4}=\frac12.$$
Тогда
$$y_{\min}=4\left(\frac12\right)^2-4\cdot\frac12-2=1-2-2=-3.$$
Максимум на концах отрезка:
$$y(-1)=4\cdot 1+4-2=6,\qquad y(1)=4-4-2=-2.$$
Значит, $$y_{\max}=6.$$
г) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и
$$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x=1-\sin^2 x-3\sin^2 x-4\sin x=1-4t^2-4t.$$
Парабола направлена вниз. Абсцисса вершины:
$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot(-4)}=-\frac12.$$
Тогда
$$y_{\max}=1-4\left(-\frac12\right)^2-4\left(-\frac12\right)=1-1+2=2.$$
Минимум на концах отрезка:
$$y(-1)=1-4\cdot 1+4=1,\qquad y(1)=1-4-4=-7.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-7.$$