Упр.14.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а)

$$ \sqrt{\sin^{-2} t-\ctg^2 t+\cos^2 t-1}+\sqrt{\cos^{-2} t-\tg^2 t+\sin^2 t-1}+2\sin t-\cos t $$
$$ =\sqrt{1+\ctg^2 t-\ctg^2 t+\cos^2 t-1}+\sqrt{1+\tg^2 t-\tg^2 t+\sin^2 t-1}+2\sin t-\cos t $$
$$ =\sqrt{\cos^2 t}+\sqrt{\sin^2 t}+2\sin t-\cos t =|\cos t|+|\sin t|+2\sin t-\cos t. $$

Так как $$t\in(13;14),$$ то
$$ 4\pi<13<14<4\pi+\frac{\pi}{2}, $$
значит, $$t$$ лежит в первой четверти. Тогда
$$ |\cos t|=\cos t,\qquad |\sin t|=\sin t. $$
Следовательно,
$$ \cos t+\sin t+2\sin t-\cos t=3\sin t. $$

б)

$$ \sqrt{\sin^2 t(1-2\ctg t)+4\cos^2 t\left(1-0{,}5\tg t\right)}+\sin t+\cos t $$
$$ =\sqrt{\sin^2 t-2\sin t\cos t+4\cos^2 t-2\sin t\cos t}+\sin t+\cos t $$
$$ =\sqrt{(\sin t-2\cos t)^2}+\sin t+\cos t =|\sin t-2\cos t|+\sin t+\cos t. $$

Так как $$t\in(0;1),$$ а $$1<\frac{\pi}{3},$$ то
$$ 0<t<\frac{\pi}{3}. $$
Значит,
$$ \frac12<\cos t<1,\qquad 0<\sin t<1, $$
и потому
$$ 2\cos t-\sin t>0. $$
Следовательно,
$$ |\sin t-2\cos t|=-(\sin t-2\cos t)=2\cos t-\sin t. $$
Тогда
$$ 2\cos t-\sin t+\sin t+\cos t=3\cos t. $$