Упр.14.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Преобразуем выражение:

   $$ \sqrt{\frac{1+\cos t}{1-\cos t}}+\sqrt{\frac{1-\cos t}{1+\cos t}}+\frac{2}{\sin t} $$

   Приведём подкоренные выражения к общему знаменателю:

   $$ \sqrt{\frac{(1+\cos t)^2}{1-\cos^2 t}}+\sqrt{\frac{(1-\cos t)^2}{1-\cos^2 t}}+\frac{2}{\sin t} $$

   Так как $$1-\cos^2 t=\sin^2 t,$$ получаем:

   $$ \sqrt{\frac{(1+\cos t)^2}{\sin^2 t}}+\sqrt{\frac{(1-\cos t)^2}{\sin^2 t}}+\frac{2}{\sin t} = \left|\frac{1+\cos t}{\sin t}\right|+\left|\frac{1-\cos t}{\sin t}\right|+\frac{2}{\sin t} $$

   По условию $$t$$ лежит в третьей четверти, значит $$\sin t<0$$, $$\cos t<0$$. Тогда

   $$ \left|\frac{1+\cos t}{\sin t}\right|=-\frac{1+\cos t}{\sin t},\qquad \left|\frac{1-\cos t}{\sin t}\right|=-\frac{1-\cos t}{\sin t} $$

   Следовательно,

   $$ -\frac{1+\cos t}{\sin t}-\frac{1-\cos t}{\sin t}+\frac{2}{\sin t}=0 $$

2. б) Преобразуем выражение:

   $$ \sqrt{\frac{1-\sin t}{1+\sin t}}+\tg t $$

   Приведём подкоренное выражение к виду с $$\cos^2 t$$:

   $$ \sqrt{\frac{(1-\sin t)^2}{(1+\sin t)(1-\sin t)}}+\tg t = \sqrt{\frac{(1-\sin t)^2}{1-\sin^2 t}}+\tg t $$

   Так как $$1-\sin^2 t=\cos^2 t,$$ то

   $$ \sqrt{\frac{(1-\sin t)^2}{\cos^2 t}}+\tg t = \left|\frac{1-\sin t}{\cos t}\right|+\frac{\sin t}{\cos t} $$

   По условию $$t$$ лежит в первой четверти, значит $$\sin t>0$$, $$\cos t>0$$, поэтому

   $$ \left|\frac{1-\sin t}{\cos t}\right|=\frac{1-\sin t}{\cos t} $$

   Тогда

   $$ \frac{1-\sin t}{\cos t}+\frac{\sin t}{\cos t} = \frac{1}{\cos t} $$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac{1}{\cos t}$$.