Упр.14.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что ctg t = а, найдите: а) 2 sin2t + 3 cos2t; б) 2 sin2t — 3 sin t cos t — 5 cos2t.

Пусть $$\ctg t=a.$$ Тогда

$$\ctg^2 t=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=a^2,$$

откуда

$$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{1+a^2}, \qquad \cos^2 t=\frac{a^2}{1+a^2}.$$

а)

$$ 2\sin^2 t+3\cos^2 t =2\cdot \frac{1}{1+a^2}+3\cdot \frac{a^2}{1+a^2} =\frac{2+3a^2}{1+a^2}. $$

б)

Так как $$\sin t\cos t=\ctg t\cdot \sin^2 t=a\cdot \frac{1}{1+a^2}=\frac{a}{1+a^2},$$ то

$$ 2\sin^2 t-3\sin t\cos t-5\cos^2 t =2\cdot \frac{1}{1+a^2}-3\cdot \frac{a}{1+a^2}-5\cdot \frac{a^2}{1+a^2} =\frac{2-3a-5a^2}{1+a^2}. $$

Ответ

а) $$\frac{2+3a^2}{1+a^2}$$; б) $$\frac{2-3a-5a^2}{1+a^2}$$.