Упр.14.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Пусть $$\tg t=x$$. Тогда из условия

   $$x-\frac{1}{x}=-\frac{7}{12}.$$

   Умножим на $$12x$$:

   $$12x^2-12=-7x,$$

   $$12x^2+7x-12=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=7^2-4\cdot 12\cdot(-12)=49+576=625,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm 25}{24}.$$

   Получаем:

   $$x_1=-\frac{4}{3}, \quad x_2=\frac{3}{4}.$$

   Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то $$\tg t>0,$$ значит

   $$\tg t=\frac{3}{4}.$$

   Тогда

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{4}{5},$$

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$

   Следовательно,

   $$\sin t+\cos t=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}=1{,}4.$$

2. б) Пусть $$\tg t=x.$$ Тогда из условия

   $$4\ctg t+6\tg t+11=0$$

   получаем

   $$\frac{4}{x}+6x+11=0.$$

   Умножим на $$x$$:

   $$6x^2+11x+4=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=11^2-4\cdot 6\cdot 4=121-96=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-11\pm 5}{12}.$$

   Отсюда

   $$x_1=-\frac{4}{3}, \quad x_2=-\frac{1}{2}.$$

   Так как $$\frac{5\pi}{2}<t<\frac{11\pi}{4},$$ то после вычитания $$2\pi$$ имеем

   $$\frac{\pi}{2}<t<\frac{3\pi}{4},$$

   то есть угол лежит во II четверти, где $$\tg t<0.$$

   Значит,

   $$\tg t=-\frac{4}{3}.$$

   Тогда

   $$\cos t=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{4}{3}\right)^2}}=-\frac{3}{5},$$

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}.$$

   Следовательно,

   $$2\sin t+\cos t=2\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{5}{5}=1.$$

Ответ

а) $$1{,}4$$; б) $$1$$.