Упр.14.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что sin t cos t = -12/49. Вычислите: а) tg t + ctg t; б) tg2t + ctg2t.

Используем формулы:

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}, \qquad \ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}.$$

Тогда

$$\tg t+\ctg t=\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t} =\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cdot \cos t} =\frac{1}{\sin t\cdot \cos t}.$$

Так как $$\sin t\cdot \cos t=-\frac{12}{49},$$ получаем

$$\tg t+\ctg t=\frac{1}{-\frac{12}{49}}=-\frac{49}{12}.$$

Теперь найдём сумму квадратов:

$$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t+\ctg t)^2-2\tg t\cdot \ctg t.$$

Но

$$\tg t\cdot \ctg t=1,$$

значит

$$\tg^2 t+\ctg^2 t=\left(-\frac{49}{12}\right)^2-2=\frac{2401}{144}-2=\frac{2401-288}{144}=\frac{2113}{144}.$$

Ответ

а) $$-\frac{49}{12}$$;
б) $$\frac{2113}{144}$$.