Упр.14.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, sin t cos t = -0,5. Вычислите: а) sin2t + cos2t; в) sin6 t + cos6t; б) sin4t + cos4t; г) sin8 t + cos8 t.

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ и значение $$\sin t\cos t=-0{,}5.$$

а)

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

б)

Возведём сумму в квадрат:

$$ (\sin^2 t+\cos^2 t)^2=\sin^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t+\cos^4 t=1. $$

Тогда

$$ \sin^4 t+\cos^4 t=1-2\sin^2 t\cos^2 t=1-2(\sin t\cos t)^2. $$

$$ \sin^4 t+\cos^4 t=1-2\cdot(-0{,}5)^2=1-2\cdot0{,}25=0{,}5. $$

в)

Возведём сумму в куб:

$$ (\sin^2 t+\cos^2 t)^3=\sin^6 t+3\sin^4 t\cos^2 t+3\sin^2 t\cos^4 t+\cos^6 t=1. $$

Следовательно,

$$ \sin^6 t+\cos^6 t=1-3\sin^2 t\cos^2 t(\sin^2 t+\cos^2 t). $$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ получаем

$$ \sin^6 t+\cos^6 t=1-3(\sin t\cos t)^2=1-3\cdot(-0{,}5)^2. $$

$$ \sin^6 t+\cos^6 t=1-3\cdot0{,}25=0{,}25. $$

г)

Сначала найдём сумму четвёртых степеней:

$$ \sin^4 t+\cos^4 t=0{,}5. $$

Теперь возведём её в квадрат:

$$ (\sin^4 t+\cos^4 t)^2=\sin^8 t+2\sin^4 t\cos^4 t+\cos^8 t=0{,}25. $$

Отсюда

$$ \sin^8 t+\cos^8 t=0{,}25-2\sin^4 t\cos^4 t =0{,}25-2(\sin t\cos t)^4. $$

$$ \sin^8 t+\cos^8 t=0{,}25-2\cdot(-0{,}5)^4 =0{,}25-2\cdot0{,}0625 =0{,}125. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}125$$.