Упр.14.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Известно, что sin t + cos t = 0,6. Вычислите: а) sin3t + cos3t; б) tg t sin t + ctg t cos t.

Подробный ответ

Обозначим $$s=\sin t$$, $$c=\cos t$$. Тогда известно, что $$s+c=0{,}6$$.

а) Найдём $$\sin t \cdot \cos t$$:

$$ (\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t=1+2\sin t\cos t $$

$$ 2\sin t\cos t=(\sin t+\cos t)^2-1=0{,}6^2-1=0{,}36-1=-0{,}64 $$

$$ \sin t\cos t=-0{,}32 $$

Теперь используем формулу суммы кубов:

$$ \sin^3 t+\cos^3 t=(\sin t+\cos t)(\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t) $$

$$ =(\sin t+\cos t)\bigl((\sin^2 t+\cos^2 t)-\sin t\cos t\bigr) $$

$$ =0{,}6\,(1-(-0{,}32))=0{,}6\cdot 1{,}32=0{,}792 $$

б) Преобразуем выражение:

$$ \tg t\cdot \sin t+\ctg t\cdot \cos t =\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \sin t+\frac{\cos t}{\sin t}\cdot \cos t =\frac{\sin^2 t}{\cos t}+\frac{\cos^2 t}{\sin t} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{\sin^3 t+\cos^3 t}{\sin t\cos t} $$

Подставляем найденные значения:

$$ \frac{0{,}792}{-0{,}32}=-2{,}475 $$