Упр.14.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Известно, что sin t + cos t = 0,8. Вычислите: sin t cos t. б) Известно, что sin t — cos t = 1/3. Вычислите: 9 sin t cos t.

а) Возведём в квадрат сумму:

$$ (\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t $$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$, получаем:

$$ 0{,}8^2=1+2\sin t\cos t $$

$$ 0{,}64=1+2\sin t\cos t $$

$$ 2\sin t\cos t=-0{,}36 $$

$$ \sin t\cos t=-0{,}18 $$

б) Возведём в квадрат разность:

$$ (\sin t-\cos t)^2=\sin^2 t+\cos^2 t-2\sin t\cos t $$

Тогда

$$ \left(\frac13\right)^2=1-2\sin t\cos t $$

$$ \frac19=1-2\sin t\cos t $$

$$ 2\sin t\cos t=1-\frac19=\frac89 $$

$$ \sin t\cos t=\frac49 $$

Следовательно,

$$ 9\sin t\cos t=9\cdot \frac49=4 $$

Ответ

а) $$-0{,}18$$; б) $$4$$.