Упр.14.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем формулы:

$$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}, \qquad \sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}, \qquad \sin t=\pm \sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 t}}.$$

Знак выбираем по четверти, в которой лежит угол.

1. $$\ctg t=\frac{12}{5}, \qquad 3\pi<t<\frac{7\pi}{2}.$$

   Это III четверть, значит $$\sin t<0,\ \cos t<0.$$

   $$ \sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}} =-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{144}{25}}} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13}. $$

   $$ \cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}. $$

   $$ \tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{5}{12}. $$

2. $$\ctg t=\frac{7}{24}, \qquad 2\pi<t<\frac{5\pi}{2}.$$

   Это I четверть, значит $$\sin t>0,\ \cos t>0.$$

   $$ \sin t=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{49}{576}}} =\sqrt{\frac{576}{625}} =\frac{24}{25}. $$

   $$ \cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{7}{24}\cdot\frac{24}{25}=\frac{7}{25}. $$

   $$ \tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{24}{7}. $$

3. $$\ctg t=-\frac{5}{12}, \qquad \frac{7\pi}{2}<t<4\pi.$$

   Это IV четверть, значит $$\sin t<0,\ \cos t>0.$$

   $$ \sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{5}{12}\right)^2}} =-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{25}{144}}} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}. $$

   $$ \cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}. $$

   $$ \tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{12}{5}. $$

4. $$\ctg t=-\frac{8}{15}, \qquad \frac{5\pi}{2}<t<3\pi.$$

   Это II четверть, значит $$\sin t>0,\ \cos t<0.$$

   $$ \sin t=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{8}{15}\right)^2}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{64}{225}}} =\sqrt{\frac{225}{289}} =\frac{15}{17}. $$

   $$ \cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{8}{15}\cdot\frac{15}{17}=-\frac{8}{17}. $$

   $$ \tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{15}{8}. $$

Ответ

а) $$\sin t=-\frac{5}{13},\ \cos t=-\frac{12}{13},\ \tg t=\frac{5}{12};$$
б) $$\sin t=\frac{24}{25},\ \cos t=\frac{7}{25},\ \tg t=\frac{24}{7};$$
в) $$\sin t=-\frac{12}{13},\ \cos t=\frac{5}{13},\ \tg t=-\frac{12}{5};$$
г) $$\sin t=\frac{15}{17},\ \cos t=-\frac{8}{17},\ \tg t=-\frac{15}{8}.$$