Упр.14.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{\tg t}{\tg t+\ctg t}=\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}$$

   $$=\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cdot \cos t}}=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\sin t\cdot \cos t}{\sin^2 t+\cos^2 t}$$

   $$=\frac{\sin t\cdot \sin t}{1}=\sin^2 t.$$

   Тождество доказано.

2. $$\frac{1+\tg t}{1+\ctg t}=\frac{1+\frac{\sin t}{\cos t}}{1+\frac{\cos t}{\sin t}}$$

   $$=\frac{\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t+\cos t}{\sin t}}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}\cdot \frac{\sin t}{\sin t+\cos t}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tg t.$$

   Тождество доказано.

3. $$\frac{\ctg t}{\tg t+\ctg t}=\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}$$

   $$=\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cdot \cos t}}=\frac{\cos t}{\sin t}\cdot \frac{\sin t\cdot \cos t}{\sin^2 t+\cos^2 t}$$

   $$=\frac{\cos t\cdot \cos t}{1}=\cos^2 t.$$

   Тождество доказано.

4. $$\frac{1-\ctg t}{1-\tg t}=\frac{1-\frac{\cos t}{\sin t}}{1-\frac{\sin t}{\cos t}}$$

   $$=\frac{\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t-\sin t}{\cos t}}=\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\cdot \frac{\cos t}{\cos t-\sin t}$$

   $$=\frac{-(\cos t-\sin t)}{\sin t}\cdot \frac{\cos t}{\cos t-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\ctg t.$$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\sin^2 t$$; б) $$\tg t$$; в) $$\cos^2 t$$; г) $$-\ctg t$$.