Упр.13.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Обозначим $$x=\tg \frac{17}{7}.$$ Тогда

$$\cos^{-2}\frac{17}{7}=1+\tg^2\frac{17}{7}=1+x^2.$$

Следовательно, нужно доказать неравенство

$$0<x+1+x^2<1.$$

Так как $$\frac{17}{7}\approx 2{,}42,$$ а $$\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}36,$$ то

$$\frac{3\pi}{4}<\frac{17}{7}<\pi.$$

Значит, $$\tg \frac{17}{7}<0,$$ и при этом $$-1<\tg \frac{17}{7}<0,$$ то есть $$-1<x<0.$$

Тогда

$$x+1+x^2=(x+1)+x^2>0,$$

так как $$x>-1$$ и $$x^2\ge 0.$$

Кроме того,

$$1-(x+1+x^2)=-(x+x^2)=-x(1+x)>0,$$

поскольку $$x<0$$ и $$1+x>0.$$ Значит, $$x+1+x^2<1.$$

Итак,

$$0<\tg \frac{17}{7}+\cos^{-2}\frac{17}{7}<1.$$

б) Пусть $$x=\ctg 4.$$ Тогда

$$\sin^{-2}4=1+\ctg^2 4=1+x^2,$$

и неравенство принимает вид

$$-1<1+x^2+x<1.$$

Так как $$4\approx 3{,}93,$$ а $$\frac{5\pi}{4}\approx 3{,}93,$$ то число $$4$$ лежит в III четверти, значит

$$0<\ctg 4<1,$$

то есть $$0<x<1.$$

Тогда

$$1+x^2+x>-1,$$

поскольку $$2+x^2+x>0.$$

А вот

$$1-(1+x^2+x)=-(x+x^2)=-x(1+x)<0,$$

так как $$x>0$$ и $$1+x>0.$$ Следовательно, $$1+x^2+x>1$$, а значит, правая часть неравенства $$1+x^2+x<1$$ неверна.

Итак, в пункте б) неравенство не выполняется.

Ответ

а) верно; б) неверно.