Упр.13.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1 < sin t + cos2t < 1,25; б) 2 < 2 sin2 1,2 + cos 1,2 < 17/18

Подробный ответ

а) Обозначим $$x=\sin 1.$$ Тогда $$0<x<1,$$ а также

$$\cos^2 1=1-\sin^2 1=1-x^2.$$

Двойное неравенство принимает вид

$$1<x+1-x^2<1{,}25.$$

Проверим левую часть:

$$x+1-x^2-1=x-x^2=x(1-x)>0,$$

так как $$0<x<1.$$ Значит, $$x+1-x^2>1.$$

Проверим правую часть:

$$1{,}25-(x+1-x^2)=0{,}25-x+x^2=\left(x-\frac12\right)^2>0,$$

поскольку $$\sin 1\ne \frac12.$$ Следовательно, $$x+1-x^2<1{,}25.$$

Итак,

$$1<\sin 1+\cos^2 1<1{,}25.$$

б) Обозначим $$x=\cos 1{,}2.$$ Тогда $$0<x<1,$$ а

$$\sin^2 1{,}2=1-\cos^2 1{,}2=1-x^2.$$

Получаем

$$2<2-2x^2+x<\frac{17}{8}.$$

Проверим левую часть:

$$2-2x^2+x-2=x-2x^2=x(1-2x).$$

Так как $$1{,}2\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$0<x<1.$$ Кроме того, $$\cos 1{,}2\ne \frac12,$$ значит, знак равенства не достигается. Следовательно, $$2-2x^2+x>2.$$

Проверим правую часть:

$$\frac{17}{8}-(2-2x^2+x)=2x^2-x+\frac18=\frac12\left(2x-\frac12\right)^2>0,$$

так как $$\cos 1{,}2\ne \frac14.$$ Значит, $$2-2x^2+x<\frac{17}{8}.$$

Итак,

$$2<2\sin^2 1{,}2+\cos 1{,}2<\frac{17}{8}.$$