Упр.13.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите неравенство: а) sin t < tg t, если 0 < t < Пи/2 б) cos t < ctg t, если 0 < t < Пи/2

Рассмотрим случай а) при $$0<t<\frac{\pi}{2}.$$ На этом промежутке $$\sin t>0$$ и $$\cos t>0,$$ причём $$\cos t<1.$$

Предположим противное: $$\sin t\ge \tg t.$$ Тогда

$$ \sin t \ge \frac{\sin t}{\cos t}. $$

Так как $$\sin t>0,$$ умножим обе части на $$\cos t$$:

$$ \sin t\cos t \ge \sin t. $$

Делим на $$\sin t>0$$:

$$ \cos t \ge 1, $$

что противоречит условию $$0<\cos t<1.$$ Значит,

$$ \sin t<\tg t. $$

б) При $$0<t<\frac{\pi}{2}$$ также $$\sin t>0$$ и $$\cos t>0,$$ причём $$\sin t<1.$$

Предположим противное: $$\cos t\ge \ctg t.$$ Тогда

$$ \cos t \ge \frac{\cos t}{\sin t}. $$

Умножим на $$\sin t>0$$:

$$ \sin t\cos t \ge \cos t. $$

Делим на $$\cos t>0$$:

$$ \sin t \ge 1, $$

что противоречит условию $$0<\sin t<1.$$ Следовательно,

$$ \cos t<\ctg t. $$

Ответ

а) $$\sin t<\tg t$$; б) $$\cos t<\ctg t$$ при $$0<t<\frac{\pi}{2}.$$