Упр.13.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) sin t • cos t > 0; в) ctg t • cos t < 0; б) sin t • tg t < 0; г) tg t • ctg t > 0.

а) $$\sin t\cdot \cos t>0$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$ \begin{cases} \sin t>0,\\ \cos t>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sin t<0,\\ \cos t<0 \end{cases} $$

Отсюда:

$$ 2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
или
$$ \pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Объединяя эти промежутки, получаем:

$$ \pi k<t<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

б) $$\sin t\cdot \tg t<0$$

$$ \sin t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}<0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin^2 t}{\cos t}<0. $$

Так как $$\sin^2 t\ge 0$$, то неравенство возможно только при $$\sin t\ne 0$$ и $$\cos t<0$$.

Значит,

$$ \frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

но точки $$t=\pi n$$ исключаются, так как при них $$\sin t=0$$ и $$\tg t$$ не меняет знак в нужную сторону. Поэтому:

$$ \frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad \pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

в) $$\ctg t\cdot \cos t<0$$

$$ \ctg t\cdot \cos t=\frac{\cos t}{\sin t}\cdot \cos t=\frac{\cos^2 t}{\sin t}<0. $$

Так как $$\cos^2 t\ge 0$$, то нужно, чтобы $$\sin t<0$$ и $$\cos t\ne 0$$.

Следовательно,

$$ \pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{3\pi}{2}+2\pi n<t&lt{2\pi}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

г) $$\tg t\cdot \ctg t>0$$

$$ \tg t\cdot \ctg t=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=1, $$

если $$\sin t\ne 0$$ и $$\cos t\ne 0$$. Тогда произведение равно $$1>0$$.

Значит, нужно лишь исключить точки, где $$\sin t=0$$ или $$\cos t=0$$:

$$ t\ne \frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\pi k<t<\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\pi+2\pi n$$ или $$\pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$ или $$\frac{3\pi}{2}+2\pi n<t&lt{2\pi}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$t\ne \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$.