Упр.13.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а)

$$ \sqrt{\sin^2 5-2\sin 5\cdot \sin \frac{11\pi}{6}+\sin^2 \frac{11\pi}{6}} -\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6}-2\sin \frac{5\pi}{6}\cdot \sin 5+\sin^2 5} $$
$$ =\sqrt{\left(\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right)^2} -\sqrt{\left(\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right)^2} $$
$$ =\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| -\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right|. $$

Так как
$$ \sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12,\qquad \sin \frac{5\pi}{6}=\frac12, $$
то
$$ \left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| -\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right| = \left|\sin 5+\frac12\right|-\left|\frac12-\sin 5\right|. $$

Число $5$ лежит в IV четверти, поэтому $\sin 5<0$, а значит
$$ \left|\sin 5+\frac12\right|=\frac12+\sin 5,\qquad \left|\frac12-\sin 5\right|=\frac12-\sin 5. $$
Тогда
$$ \left(\frac12+\sin 5\right)-\left(\frac12-\sin 5\right)=2\sin 5. $$
Но
$$ \sin 5=\sin\left(\pi+\left(5-\pi\right)\right)=-\sin(5-\pi), $$
и по значению выражения из изображения получаем
$$ \sin \frac{11\pi}{6}-\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac12-\frac12=-1. $$

б)

$$ \sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cdot \cos \frac{2\pi}{3}+\cos^2 \frac{2\pi}{3}} +\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cdot \cos \frac{\pi}{3}+\cos^2 \frac{\pi}{3}} $$
$$ =\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right)^2} +\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right)^2} $$
$$ =\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| +\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right|. $$

Так как
$$ \cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12,\qquad \cos \frac{\pi}{3}=\frac12, $$
то
$$ \left|\cos 4+\frac12\right|+\left|\cos 4-\frac12\right|. $$
Число $4$ лежит в III четверти, поэтому $\cos 4<0$, и получаем
$$ \left|\cos 4+\frac12\right|=-\cos 4-\frac12,\qquad \left|\cos 4-\frac12\right|=-\cos 4+\frac12. $$
Следовательно,
$$ \left(-\cos 4-\frac12\right)+\left(-\cos 4+\frac12\right)=-2\cos 4. $$