Упр.13.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а)

$$ \sqrt{\sin^2 1+\sin^2 2-2\sin 1\cdot \sin 2} +\sqrt{\frac14-\sin 1+\sin^2 1} +\sqrt{1+\sin^2 2-2\sin 2} $$
$$ =\sqrt{(\sin 1-\sin 2)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\sin 1\right)^2}+\sqrt{(1-\sin 2)^2} $$
$$ =|\sin 1-\sin 2|+\left|\frac12-\sin 1\right|+|1-\sin 2|. $$

Так как $$\frac12=\sin\frac{\pi}{6}\approx \sin 0{,}52,$$ то числа $$0{,}52$$ и $$1$$ принадлежат I четверти, а число $$2$$ — II четверти. Поэтому
$$ \sin 1-\sin 2<0,\qquad \frac12-\sin 1>0,\qquad 1-\sin 2>0. $$
Следовательно,
$$ |\sin 1-\sin 2|=-(\sin 1-\sin 2),\quad \left|\frac12-\sin 1\right|=\frac12-\sin 1,\quad |1-\sin 2|=1-\sin 2. $$
Тогда
$$ -(\sin 1-\sin 2)+\left(\frac12-\sin 1\right)+(1-\sin 2)=\frac12. $$

б)

$$ \sqrt{\cos^2 6+\cos^2 7-2\cos 6\cdot \cos 7} +\sqrt{\frac14-\cos 7+\cos^2 7} +\sqrt{1+\cos^2 6-2\cos 6} $$
$$ =\sqrt{(\cos 6-\cos 7)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\cos 7\right)^2}+\sqrt{(1-\cos 6)^2} $$
$$ =|\cos 6-\cos 7|+\left|\frac12-\cos 7\right|+|1-\cos 6|. $$

Преобразуем числа:
$$ \cos 7=\cos(7-2\pi)\approx \cos 0{,}72,\qquad \frac12=\cos\frac{\pi}{3}\approx \cos 1{,}04. $$
Числа $$0{,}72$$ и $$1{,}04$$ принадлежат I четверти, значит $$\cos 7>0$$ и $$\cos 7>\frac12$$. Число $$6$$ принадлежит IV четверти, поэтому $$\cos 6>0$$. Тогда
$$ |\cos 6-\cos 7|=\cos 6-\cos 7,\quad \left|\frac12-\cos 7\right|=\cos 7-\frac12,\quad |1-\cos 6|=1-\cos 6. $$
Следовательно,
$$ (\cos 6-\cos 7)+\left(\cos 7-\frac12\right)+(1-\cos 6)=\frac12. $$