Упр.13.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Для синуса удобно сравнить значения по четвертям и по расстоянию до точки максимума $$\frac{\pi}{2}$$.

Имеем:

$$0<\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{5}<\frac{2\pi}{3}<\pi,$$

значит, $$\sin \frac{\pi}{7}$$ и $$\sin \frac{\pi}{5}$$ положительны, а $$\sin \frac{2\pi}{3}$$ тоже положителен, но ближе к максимуму, чем предыдущие.

Для углов из III и IV четвертей:

$$\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{4\pi}{3}<\frac{3\pi}{2},$$

поэтому $$\sin \frac{7\pi}{6}<0$$ и $$\sin \frac{4\pi}{3}<0.$$

Сравним значения:

$$ \left|\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right|=\frac{5\pi}{14},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right|=\frac{3\pi}{10},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right|=\frac{\pi}{6}, $$

$$ \left|\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}\right|=\frac{\pi}{3},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}\right|=\frac{5\pi}{6}. $$

Чем меньше расстояние до $$\frac{\pi}{2}$$, тем больше значение синуса. Поэтому порядок возрастания такой:

$$\sin \frac{4\pi}{3}<\sin \frac{7\pi}{6}<\sin \frac{\pi}{7}<\sin \frac{\pi}{5}<\sin \frac{2\pi}{3}.$$

б) Для косинуса сравним углы по четвертям и по расстоянию до точки максимума $$0$$.

Имеем:

$$0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2},$$

значит, $$\cos \frac{\pi}{8}$$ и $$\cos \frac{\pi}{3}$$ положительны.

$$\frac{\pi}{2}<\frac{5\pi}{6}<\pi,$$

поэтому $$\cos \frac{5\pi}{6}<0.$$

Также:

$$\pi<\frac{5\pi}{4}<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<\frac{7\pi}{4}<2\pi,$$

следовательно, $$\cos \frac{5\pi}{4}<0,$$ а $$\cos \frac{7\pi}{4}>0.$$

Сравним по расстоянию до точки максимума $$0$$:

$$ \left|0-\frac{\pi}{8}\right|=\frac{\pi}{8},\quad \left|0-\frac{\pi}{3}\right|=\frac{\pi}{3},\quad \left|\pi-\frac{5\pi}{6}\right|=\frac{\pi}{6}, $$

$$ \left|2\pi-\frac{7\pi}{4}\right|=\frac{\pi}{4},\quad \left|2\pi-\frac{5\pi}{4}\right|=\frac{3\pi}{4}. $$

Чем меньше это расстояние, тем больше косинус. Поэтому порядок возрастания:

$$\cos \frac{5\pi}{4}<\cos \frac{5\pi}{6}<\cos \frac{\pi}{3}<\cos \frac{7\pi}{4}<\cos \frac{\pi}{8}.$$