Упр.13.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: а) 1 + tg2 t= cos2 t; в) sin2t (1 + ctg2 t) = 1; б) 1 + ctg2 t = sin2 t; г) cos2t (1 + tg2 t) = 1.

Используем основные тригонометрические тождества:

$$\tg^2 t=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}, \qquad \ctg^2 t=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}, \qquad \sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

1. $$1+\tg^2 t=1+\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\cos^2 t}=\frac{1}{\cos^2 t}=\cos^{-2} t.$$

2. $$1+\ctg^2 t=1+\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin^2 t}=\frac{1}{\sin^2 t}=\sin^{-2} t.$$

3. $$\sin^2 t\,(1+\ctg^2 t)=\sin^2 t\left(1+\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\right)=\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

4. $$\cos^2 t\,(1+\tg^2 t)=\cos^2 t\left(1+\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$$

Во всех случаях получаем верные равенства, значит, тождества доказаны.

Ответ

а) $$1+\tg^2 t=\cos^{-2} t$$; б) $$1+\ctg^2 t=\sin^{-2} t$$; в) $$\sin^2 t\,(1+\ctg^2 t)=1$$; г) $$\cos^2 t\,(1+\tg^2 t)=1$$.