Упр.123 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 123. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получатся три числа арифметической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число равно 60.

Пусть три числа геометрической прогрессии — это $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ причём $$b_2=60.$$

По свойству геометрической прогрессии:

$$b_2^2=b_1b_3,$$

то есть

$$60^2=b_1b_3.$$

После преобразования получаем три числа арифметической прогрессии:

$$b_1+25,\; 60,\; \frac{b_3}{3}.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$60=\frac{(b_1+25)+\frac{b_3}{3}}{2}.$$

Тогда

$$120=b_1+25+\frac{b_3}{3},$$

$$b_1=95-\frac{b_3}{3}.$$

Подставим в условие геометрической прогрессии:

$$3600=\left(95-\frac{b_3}{3}\right)b_3.$$

Раскроем скобки:

$$3600=95b_3-\frac{b_3^2}{3},$$

$$b_3^2-285b_3+10800=0.$$

Найдём корни:

$$D=285^2-4\cdot10800=38025,$$

$$\sqrt{D}=195.$$

Тогда

$$b_3=\frac{285-195}{2}=45 \quad \text{или} \quad b_3=\frac{285+195}{2}=240.$$

Находим соответствующие значения $$b_1$$:

если $$b_3=45,$$ то

$$b_1=95-\frac{45}{3}=80;$$

если $$b_3=240,$$ то

$$b_1=95-\frac{240}{3}=15.$$

Проверка показывает, что оба набора подходят.

Ответ

$$80,\;60,\;45$$ или $$15,\;60,\;240.$$