Упр.12.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:

1. а) $$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\frac{\pi}{6}$$, значит все числа имеют вид

   $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьшее положительное число:

   $$t_1=\frac{\pi}{6}.$$

   Наибольшее отрицательное число:

   $$t_2=\frac{\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}.$$

2. б) $$M\left(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\frac{5\pi}{3}$$, значит

   $$t=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьшее положительное число:

   $$t_1=\frac{5\pi}{3}.$$

   Наибольшее отрицательное число:

   $$t_2=\frac{5\pi}{3}-2\pi=\frac{5\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}.$$

3. в) $$M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\frac{5\pi}{6}$$, значит

   $$t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьшее положительное число:

   $$t_1=\frac{5\pi}{6}.$$

   Наибольшее отрицательное число:

   $$t_2=\frac{5\pi}{6}-2\pi=\frac{5\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}.$$

4. г) $$M\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

   Этой точке соответствует угол $$\frac{4\pi}{3}$$, значит

   $$t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьшее положительное число:

   $$t_1=\frac{4\pi}{3}.$$

   Наибольшее отрицательное число:

   $$t_2=\frac{4\pi}{3}-2\pi=\frac{4\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{6},\ -\frac{11\pi}{6}$$; б) $$\frac{5\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3}$$; в) $$\frac{5\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6}$$; г) $$\frac{4\pi}{3},\ -\frac{2\pi}{3}$$.