Упр.12.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите на числовой окружности все точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют: а) x > 0; б) x < 1/2; в) x > 1/2; г) x < 0.

1. а) $$x>0$$

   На числовой окружности это правая полуокружность без точек с абсциссой $$0$$. Границы соответствуют точкам $$\left(0;-1\right)$$ и $$\left(0;1\right)$$, то есть значениям $$t=-\frac{\pi}{2}$$ и $$t=\frac{\pi}{2}$$.

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$x<\frac12$$

   Границы задаются точками $$\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$$ и $$\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$, которым соответствуют значения $$t=\frac{\pi}{3}$$ и $$t=\frac{5\pi}{3}$$.

   Тогда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$x>\frac12$$

   Это дуга между точками $$\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$ и $$\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$$, то есть между углами $$-\frac{\pi}{3}$$ и $$\frac{\pi}{3}$$.

   Получаем

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$x<0$$

   Это левая полуокружность без точек с абсциссой $$0$$. Границы соответствуют значениям $$t=\frac{\pi}{2}$$ и $$t=\frac{3\pi}{2}$$.

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.