Упр.11.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a K радиусам OA и OC проведены серединные перпендикуляры, соответственно, MN и PQ (рис. 44). Чему равен центральный угол AOMl Найдите длину хорды MN. Найдите длину дуги QN. Докажите, что точки А, M, P, C, Q, N делят окружность на шесть равных частей, б) K радиусам OB и OD проведены серединные перпендикуляры LK и TS, соответственно (рис. 45). Чему равен центральный угол KOB? Найдите длину хорды KL. Найдите длину дуги TL. Докажите, что точки K, B, L, T, D, S делят окружность на шесть равных частей.

а) Пусть радиус окружности равен $$R=1$$.

Так как $$MN$$ — серединный перпендикуляр к радиусу $$OA$$, то точка $$M$$ равноудалена от $$O$$ и $$A$$, значит $$OM=AM$$. Но $$OA=OM=R=1$$, следовательно, треугольник $$AOM$$ равносторонний, и

$$\angle AOM=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$OM=1$$ и катетом $$OM_1=\dfrac12$$ получаем

$$MM_1=\sqrt{OM^2-OM_1^2}=\sqrt{1-\left(\dfrac12\right)^2}=\sqrt{\dfrac34}=\dfrac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$MN=2MM_1=2\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Аналогично для дуги $$QN$$: соответствующий центральный угол равен $$60^\circ$$, поэтому

$$\overset{\frown}{QN}=60^\circ\cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{\pi}{3}.$$

Следовательно, точки $$A, M, P, C, Q, N$$ делят окружность на 6 равных дуг по $$\dfrac{\pi}{3}$$.

б) Аналогично, так как $$LK$$ — серединный перпендикуляр к радиусу $$OB$$, то точки $$K$$ и $$B$$ симметричны относительно соответствующей оси, и треугольник $$KOB$$ равносторонний. Значит,

$$\angle KOB=60^\circ.$$

Из прямоугольного треугольника получаем

$$KK_1=\sqrt{OK^2-OK_1^2}=\sqrt{1-\left(\dfrac12\right)^2}=\dfrac{\sqrt3}{2},$$

поэтому

$$KL=2KK_1=\sqrt3.$$

Длина дуги $$TL$$ соответствует центральному углу $$60^\circ$$, значит

$$\overset{\frown}{TL}=60^\circ\cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}=\dfrac{\pi}{3}.$$

Следовательно, точки $$K, B, L, T, D, S$$ делят окружность на 6 равных дуг по $$\dfrac{\pi}{3}$$.

Ответ

а) $$\angle AOM=60^\circ,\ MN=\sqrt3,\ \overset{\frown}{QN}=\dfrac{\pi}{3}.$$

б) $$\angle KOB=60^\circ,\ KL=\sqrt3,\ \overset{\frown}{TL}=\dfrac{\pi}{3}.$$