Упр.11.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Можно ли найти на единичной окружности точку E с указанной ниже длиной дуги AE? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка E: а) AE = 2; в) AE = 6,3;

1. а) $$AE=2$$.

   На единичной окружности длина дуги может быть от $$0$$ до $$2\pi$$. Так как

   $$\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57 < 2 < \pi \approx 3{,}14,$$

   то точка $$E$$ лежит во II четверти.

2. б) $$AE=\sqrt{8\pi}$$.

   Оценим значение:

   $$\sqrt{8\pi}\approx \sqrt{8\cdot 3{,}14}=\sqrt{25{,}12}\approx 5.$$

   При этом

   $$\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71 < \sqrt{8\pi} < 2\pi \approx 6{,}28,$$

   значит, точка $$E$$ находится в IV четверти.

3. в) $$AE=6{,}3$$.

   Так как

   $$2\pi \approx 6{,}28,$$

   то $$6{,}3 > 2\pi$$. На единичной окружности такая длина дуги невозможна.

4. г) $$AE=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$.

   Преобразуем выражение:

   $$ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} =\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} =2+\sqrt{3}. $$

   Тогда

   $$2+\sqrt{3}\approx 2+1{,}73=3{,}73.$$

   Поскольку

   $$\pi \approx 3{,}14 < 3{,}73 < \frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71,$$

   точка $$E$$ лежит в III четверти.

Ответ

а) во II четверти; б) в IV четверти; в) нет; г) в III четверти.