Упр.11.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Третья четверть разделена точкой M в отношении 2 : 3, первая — точкой P в отношении 1 : 5. Найдите длину дуги: а) CM; б) AP; в) PM; г) MP.

Подробный ответ

По рисунку окружность разбита на четыре четверти: $$AB=BC=CD=DA=\frac{\pi}{2}.$$

Точка $$M$$ делит третью четверть в отношении $$2:3$$, значит

$$ CM=CD\cdot \frac{2}{2+3}=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{\pi}{5}. $$

Точка $$P$$ делит первую четверть в отношении $$1:5$$, поэтому

$$ AP=AB\cdot \frac{1}{1+5}=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{\pi}{12}. $$

Для дуги $$PM$$ складываем дуги $$PB$$, $$BC$$ и $$CM$$:

$$ PB=AB\cdot \frac{5}{1+5}=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5\pi}{12}, $$
$$ PM=PB+BC+CM=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{5} =\frac{25\pi+30\pi+12\pi}{60}=\frac{67\pi}{60}. $$

Для дуги $$MP$$ получаем ту же длину:

$$ MP=MD+DA+AP. $$

Так как

$$ MD=CD\cdot \frac{3}{2+3}=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3\pi}{10}, $$
то

$$ MP=\frac{3\pi}{10}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12} =\frac{18\pi+30\pi+5\pi}{60}=\frac{53\pi}{60}. $$