Упр.11.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки;

1. а) $$t=2\pi n,\quad t=\pi+2\pi n$$

   При любых целых $$n$$ получаем точки:

   $$t=2\pi n \Rightarrow t=0,$$

   $$t=\pi+2\pi n \Rightarrow t=\pi.$$

   Общая формула для всех найденных чисел:

   $$t=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$t=\pi n,\quad t=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   Если $$n=2k$$, то

   $$t=\pi(2k)=2\pi k=0,$$

   $$t=\frac{\pi}{2}+\pi(2k)=\frac{\pi}{2}+2\pi k=\frac{\pi}{2}.$$

   Если $$n=2k+1$$, то

   $$t=\pi(2k+1)=\pi+2\pi k=\pi,$$

   $$t=\frac{\pi}{2}+\pi(2k+1)=\frac{\pi}{2}+\pi+2\pi k=\frac{3\pi}{2}.$$

   Общая формула:

   $$t=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. в) $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

   При любых целых $$n$$ получаем точки:

   $$t=\frac{\pi}{2},\qquad t=\frac{3\pi}{2}.$$

   Общая формула для всех найденных чисел:

   $$t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

4. г) $$t=\pi n,\quad t=\frac{\pi n}{2}$$

   Так как $$\pi n$$ входит в множество значений $$\frac{\pi n}{2}$$ при чётных $$n$$, а при нечётных $$n$$ даёт дополнительные точки, то все различные значения равны

   $$0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}.$$

   Общая формула:

   $$t=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$M_1(0),\ M_2(\pi),\ t=\pi k$$;
б) $$M_1(0),\ M_2\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\ M_3(\pi),\ M_4\!\left(\frac{3\pi}{2}\right),\ t=\frac{\pi k}{2}$$;
в) $$M_1\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\ M_2\!\left(\frac{3\pi}{2}\right),\ t=\frac{\pi}{2}+\pi k$$;
г) $$M_1(0),\ M_2\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\ M_3(\pi),\ M_4\!\left(\frac{3\pi}{2}\right),\ t=\frac{\pi k}{2}$$.