Упр.11.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Первая четверть разделена на две равные части точкой M, а четвертая — на три равные части точками K и Р. Найдите длину дуги: а) DM; б) BK; в) PM; г) PC.

Полная окружность соответствует углу $$2\pi$$. По рисунку дуга $$AB$$ — четверть окружности, значит

$$AB=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

Точка $$M$$ делит дугу $$AB$$ пополам, поэтому

$$AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{\pi}{4}.$$

Точки $$K$$ и $$P$$ делят дугу $$DA$$ на три равные части, значит

$$DK=KP=PA=\frac{DA}{3}=\frac{\pi/2}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

Теперь найдём нужные дуги:

а) $$DM=DA+AM=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.$$

б) $$BK=BD+DK=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}.$$

в) $$PM=PA+AM=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi+3\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.$$

г) $$PC=PA+AD+DC?$$

Удобнее идти по дуге от $$P$$ к $$C$$ через точки $$A$$ и $$B$$:
$$PC=PA+AB+BC.$$

Так как $$PA=\frac{\pi}{6}$$, $$AB=\frac{\pi}{2}$$, а дуга $$BC$$ — четверть окружности, то $$BC=\frac{\pi}{2}$$. Тогда

$$PC=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\pi}{4}$$; б) $$\frac{2\pi}{3}$$; в) $$\frac{5\pi}{12}$$; г) $$\frac{7\pi}{6}$$.