Упр.11.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей (рис. 46). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки: а) A и С; б) B и D; в) M и P; г) N и Q.

Числовая окружность разделена на 8 равных частей, значит длина одной дуги равна

$$l=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.$$

Точки на окружности соответствуют углам, отличающимся на период $$2\pi$$, поэтому для каждой пары точек запишем все соответствующие числа.

1. а) A и C

   Точке $$A$$ соответствует $$0$$, а точке $$C$$ — $$\pi$$.

   Тогда

   $$t=2\pi n \quad \text{или} \quad t=\pi+2\pi n.$$

   Обе записи объединяются в одну формулу:

   $$t=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. б) B и D

   Точке $$B$$ соответствует $$\frac{\pi}{2}$$, а точке $$D$$ — $$\frac{3\pi}{2}$$.

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

   Это можно записать так:

   $$t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. в) M и P

   Точке $$M$$ соответствует $$\frac{\pi}{4}$$, а точке $$P$$ — $$\frac{5\pi}{4}$$.

   Тогда

   $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$

   Общая формула:

   $$t=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

4. г) N и Q

   Точке $$N$$ соответствует $$-\frac{\pi}{4}$$, а точке $$Q$$ — $$\frac{\pi}{4}$$.

   Значит,

   $$t=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Их можно объединить в формулу

   $$t=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$t=\pi k$$; б) $$t=\frac{\pi}{2}+\pi k$$; в) $$t=\frac{\pi}{4}+\pi k$$; г) $$t=-\frac{\pi}{4}+\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.