Упр.105 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

б) Дана функция у = f(х), где f(x) = 1/x. При каком значении х выполняется равенство f(x^2 — 1) = f(Зх^2 — Зх)?

а) $$f(x)=x^2-5x+6$$

Найдём значения функции:

$$f(x+1)=(x+1)^2-5(x+1)+6=x^2+2x+1-5x-5+6=x^2-3x+2$$

$$f(x-3)=(x-3)^2-5(x-3)+6=x^2-6x+9-5x+15+6=x^2-11x+30$$

Приравняем:

$$x^2-3x+2=x^2-11x+30$$

$$-3x+11x=30-2$$

$$8x=28$$

$$x=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}=3{,}5$$

б) $$f(x)=\frac{1}{x}$$

Тогда

$$f(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}, \qquad f(3x^2-3x)=\frac{1}{3x^2-3x}$$

Область определения:

$$x^2-1\ne 0,\qquad 3x^2-3x\ne 0$$

$$x\ne \pm 1,\qquad x\ne 0,\; x\ne 1$$

Приравняем значения:

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

$$x^2-1=3x^2-3x$$

$$2x^2-3x+1=0$$

$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$$

$$x=\frac{3\pm 1}{4}$$

$$x_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad x_2=\frac{4}{4}=1$$

Значение $$x=1$$ не подходит, так как не входит в область определения.

Ответ

а) $$x=3{,}5$$; б) $$x=\frac{1}{2}$$.