Упр.104 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

a) f(x) = x^2+2, если 1 < =x < =2 f(x) = 6/x, если 2 < x < =6 б) f(x) = -(4/(x+1)), если x < -1 f(x) = -3x^2+3, если -1 < =x < =2

а) Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x^2+2, & 1\le x\le 2,\\ \dfrac{6}{x}, & 2<x\le 6. \end{cases} $$

На отрезке $$[1;2]$$ строим часть параболы $$y=x^2+2$$. Для опорных точек:

$$ f(1)=1^2+2=3,\qquad f(2)=2^2+2=6. $$

На промежутке $$ (2;6] $$ строим часть гиперболы $$y=\dfrac{6}{x}$$. Для опорных точек:

$$ f(2)=3,\qquad f(3)=2,\qquad f(6)=1. $$

Точка $$ (2;6) $$ принадлежит первому куску, а точка $$ (2;3) $$ не входит в график второго куска, так как при $$x=2$$ он не задан.

Следовательно, график состоит из дуги параболы от $$x=1$$ до $$x=2$$ и ветви гиперболы от $$x>2$$ до $$x=6$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=[1;6]$$;
• $$E(f)=[1;6]$$;
• функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$ (2;6] $$;
• функция непрерывна на $$ (1;2) $$ и $$ (2;6) $$.

б) Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x+1}, & x<-1,\\ -3x^2+3, & -1\le x\le 2. \end{cases} $$

На промежутке $$x<-1$$ строим гиперболу $$y=-\dfrac{4}{x+1}$$. Опорные точки:

$$ f(-5)=1,\qquad f(-3)=2,\qquad f(-2)=4. $$

На отрезке $$[-1;2]$$ строим параболу $$y=-3x^2+3$$. Опорные точки:

$$ f(-1)=0,\qquad f(0)=3,\qquad f(1)=0,\qquad f(2)=-9. $$

Точка $$(-1;0)$$ входит в график, а при $$x=-1$$ первая формула не определена.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;2]$$;
• $$E(f)=[-9;+\infty)$$;
• функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$[-1;0]$$, убывает на $$[0;2]$$;
• функция непрерывна на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;2)$$.

Ответ

а) $$D(f)=[1;6]$$, $$E(f)=[1;6]$$; функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$ (2;6] $$.
б) $$D(f)=(-\infty;2]$$, $$E(f)=[-9;+\infty)$$; функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$[-1;0]$$, убывает на $$[0;2]$$.