Упр.10.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для функции, заданной табличным способом, укажите ее область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции:

а) По таблице значения аргумента: $$x=1,\;2,\;5,\;7.$$

Следовательно, область определения:

$$D(f)=\{1;\,2;\,5;\,7\}.$$

При $$x=1$$ и $$x=7$$ функция принимает одно и то же значение $$y=3.$$ Значит, разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, поэтому обратной функции нет.

б) По таблице:

$$x=\frac13,\;\frac18,\;5,\;7,$$

$$y=\frac15,\;\frac23,\;0,(6),\;1,(4).$$

Преобразуем периодические дроби:

$$0,(6)=\frac23,\qquad 1,(4)=1\frac49.$$

Тогда область определения:

$$D(f)=\left\{\frac18;\,\frac13;\,5;\,7\right\}.$$

При $$x=\frac18$$ и $$x=5$$ функция принимает одно и то же значение $$y=\frac23.$$ Следовательно, обратной функции нет.

в) По таблице:

$$x=1,\;2,\;3,\;7,$$

$$y=5,\;8,\;9,\;1.$$

Область определения:

$$D(f)=\{1;\,2;\,3;\,7\}.$$

Все значения функции различны, значит, функция имеет обратную.

Таблица значений обратной функции получается перестановкой строк:

$$x=5,\;8,\;9,\;1,$$

$$y=1,\;2,\;3,\;7.$$

График обратной функции состоит из точек $$\left(5;1\right),\left(8;2\right),\left(9;3\right),\left(1;7\right).$$

г) По таблице:

$$x=-1,\;1,\;2,\;5,$$

$$y=4,\;1,(7),\;1\frac23,\;1.$$

Преобразуем периодическую дробь:

$$1,(7)=1\frac79.$$

Область определения:

$$D(f)=\{-1;\,1;\,2;\,5\}.$$

Все значения функции различны, значит, функция имеет обратную.

Таблица значений обратной функции:

$$x=4,\;1\frac79,\;1\frac23,\;1,$$

$$y=-1,\;1,\;2,\;5.$$

График обратной функции состоит из точек $$\left(4;-1\right),\left(1\frac79;1\right),\left(1\frac23;2\right),\left(1;5\right).$$

Ответ

а) $$D(f)=\{1;\,2;\,5;\,7\}$$, обратной функции нет.

б) $$D(f)=\left\{\frac18;\,\frac13;\,5;\,7\right\}$$, обратной функции нет.

в) $$D(f)=\{1;\,2;\,3;\,7\}$$, функция обратима; обратная функция задана точками $$\left(5;1\right),\left(8;2\right),\left(9;3\right),\left(1;7\right).$$

г) $$D(f)=\{-1;\,1;\,2;\,5\}$$, функция обратима; обратная функция задана точками $$\left(4;-1\right),\left(1\frac79;1\right),\left(1\frac23;2\right),\left(1;5\right).$$