Упр.10.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = х|х|; в) у = 2 — x|x|; б) у = x2 + 2|x|; г) у = х|х — 2|.

1. а) $$y=x|x|$$

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

   $$y=x\cdot x=x^2.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

   $$y=x\cdot(-x)=-x^2.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} x^2, & x \ge 0,\\ -x^2, & x<0. \end{cases} $$

   Функция нечётная, обратная функция существует на каждой из ветвей:

   $$ y= \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0,\\ -\sqrt{-x}, & x<0. \end{cases} $$

2. б) $$y=x^2+2|x|$$

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

   $$y=x^2+2x.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

   $$y=x^2-2x.$$

   Тогда

   $$ y= \begin{cases} x^2+2x, & x \ge 0,\\ x^2-2x, & x<0. \end{cases} $$

   Эта функция не взаимно однозначна, поэтому обратная функция не существует.

3. в) $$y=2-x|x|$$

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

   $$y=2-x^2.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

   $$y=2+x^2.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} 2-x^2, & x \ge 0,\\ 2+x^2, & x<0. \end{cases} $$

   Обратная функция:

   $$ y= \begin{cases} \sqrt{2-x}, & x \le 2,\\ -\sqrt{x-2}, & x>2. \end{cases} $$

4. г) $$y=x|x-2|$$

   Если $$x \ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$, значит

   $$y=x(x-2)=x^2-2x.$$

   Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$, значит

   $$y=x(2-x)=-x^2+2x.$$

   Тогда

   $$ y= \begin{cases} x^2-2x, & x \ge 2,\\ -x^2+2x, & x<2. \end{cases} $$

   Функция не имеет обратной.

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } y= \begin{cases} x^2, & x \ge 0,\\ -x^2, & x<0 \end{cases} \quad \text{, обратная существует;}\\[6pt] &\text{б) } y= \begin{cases} x^2+2x, & x \ge 0,\\ x^2-2x, & x<0 \end{cases} \quad \text{, обратной нет;}\\[6pt] &\text{в) } y= \begin{cases} 2-x^2, & x \ge 0,\\ 2+x^2, & x<0 \end{cases} \quad \text{, обратная существует;}\\[6pt] &\text{г) } y= \begin{cases} x^2-2x, & x \ge 2,\\ -x^2+2x, & x<2 \end{cases} \quad \text{, обратной нет.} \end{aligned} $$