Упр.10.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически: а) у = 3х + |x|; в) у = 2|х| — 5x; б) у = x + 2|x|; г) у = 2x — 5|x|.

а) $$y=3x+|x|$$

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

$$y=3x+x=4x.$$

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

$$y=3x-x=2x.$$

Функция строго возрастает на всей области определения, поэтому обратная функция существует.

Найдём её:

$$ \begin{cases} y=4x, & x\ge 0,\\ y=2x, & x<0. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} x=4y \Rightarrow y=\dfrac{x}{4}, & x\ge 0,\\ x=2y \Rightarrow y=\dfrac{x}{2}, & x<0. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} \dfrac{x}{4}, & x\ge 0,\\[4pt] \dfrac{x}{2}, & x<0. \end{cases} $$

б) $$y=x+2|x|$$

Если $$x\ge 0$$, то

$$y=x+2x=3x.$$

Если $$x<0$$, то

$$y=x-2x=-x.$$

На разных промежутках функция принимает одно и то же значение при разных $$x$$, поэтому она не взаимно однозначна. Обратная функция не существует.

в) $$y=2|x|-5x$$

Если $$x\ge 0$$, то

$$y=2x-5x=-3x.$$

Если $$x<0$$, то

$$y=-2x-5x=-7x.$$

Функция строго убывает на всей области определения, значит обратная функция существует.

Найдём её:

$$ \begin{cases} y=-3x, & x\ge 0,\\ y=-7x, & x<0. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} x=-3y \Rightarrow y=-\dfrac{x}{3}, & x\le 0,\\ x=-7y \Rightarrow y=-\dfrac{x}{7}, & x>0. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}, & x<0,\\[4pt] -\dfrac{x}{7}, & x\ge 0. \end{cases} $$

г) $$y=2x-5|x|$$

Если $$x\ge 0$$, то

$$y=2x-5x=-3x.$$

Если $$x<0$$, то

$$y=2x+5x=7x.$$

Функция строго убывает на всей области определения, значит обратная функция существует.

Найдём её:

$$ \begin{cases} y=-3x, & x\ge 0,\\ y=7x, & x<0. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} x=-3y \Rightarrow y=-\dfrac{x}{3}, & x\le 0,\\ x=7y \Rightarrow y=\dfrac{x}{7}, & x>0. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x}{7}, & x>0. \end{cases} $$

Ответ

а) $$y=\begin{cases}\dfrac{x}{4}, & x\ge 0,\\[4pt]\dfrac{x}{2}, & x<0.\end{cases}$$

б) обратная функция не существует.

в) $$y=\begin{cases}-\dfrac{x}{3}, & x<0,\\[4pt]-\dfrac{x}{7}, & x\ge 0.\end{cases}$$

г) $$y=\begin{cases}-\dfrac{x}{3}, & x\le 0,\\[4pt]\dfrac{x}{7}, & x>0.\end{cases}$$