Упр.10.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть у = f(x) и у = f(x) — некоторые взаимно-обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения: а) f(x) = x и g(x) = x; б) f(g(x)) = x и g(f(x)) = x?

Подробный ответ

Пусть $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ — взаимно обратные функции.

а) Рассмотрим уравнения $$f(x)=x$$ и $$g(x)=x$$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $$y=x$$. Поэтому точки их пересечения с прямой $$y=x$$ совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $$f(g(x))=x$$ и $$g(f(x))=x$$.

Для взаимно обратных функций композиции дают:

$$f(g(x))=x \quad \text{при } x \in D(g),$$

$$g(f(x))=x \quad \text{при } x \in D(f).$$

Но области определения функций $$f$$ и $$g$$ вообще говоря могут быть различны, поэтому множества решений этих уравнений могут не совпадать. Значит, уравнения неравносильны.

Например, если $$f(x)=\sqrt{x-2}$$, то $$g(x)=x^2+2$$, и тогда

$$f(g(x))=\sqrt{x^2}=|x|,$$

поэтому уравнение $$f(g(x))=x$$ имеет решения $$x\ge 0$$, а уравнение $$g(f(x))=x$$ приводит к другому множеству решений.